Архієпископ Андрій Анквіч народився 22 червня 1777 року в родині Юзефа та Анни Старовєйських у будинку свого двоюрідного діда каноніка катедрального капітулу на Вавелі о. Андрія Анквіча у Кракові (Польша). При хрещенні наступного дня отримав імена Андрій, Алоїзій, Ян і Станіслав, проте пізніше послуговувався лише першими двома. Навчався у Кракові, потім - у Варшаві, а зі середини 90-х років XVIII століття - у Віденському університеті (спочатку на юридичному факультеті, де навіть отримав ступінь доктора). Проте за порадою єпископа Сігізмунда Гогенварта, котрий опікувався ним, у 1799 році продовжив навчання, але тепер вже в царині філософсько-теологічній, готуючись стати священником (формально був клериком Тарновської дієцезії). Після короткої перерви, зумовленої австрійсько-французькою війною, завершив вивчення філософії 1804 року, а теології - через два роки. Проте рукоположення в священники отримав лише 2 вересня 1810 року в каплиці резиденції архієпископів Відня з рук архієпископа Сігізмунда Гогенварта, котрий тоді вже став Віденським митрополитом.

Цього ж року став також доктором теології. Протягом трьох років здійснював душпастирство у Віденській архікатедрі св. Стефана. У 1813 році був призначений греміальним каноніком митрополітального капітулу в Оломоуці (Моравія), директором місцевої Духовної семінарії та директором теологічних студій в колишньому місцевому університеті, який тоді став ліцеєм. Проте служіння його тут тривало недовго.

Вже у травні наступного року отримав цісарську номінацію на митрополичу кафедру у Львові, яка спорожніла після смерті архієпископа Каетана Кіцького. Її підтвердження прийшло із Риму 15 березнем 1815 року. Єпископська хіротонія відбулась 15 серпня цього ж року в архікатедрі в Оломоуці. Консекрацію здійснив місцевий митрополит архієпископ Марія Трауманнсдорф за участю двох прелатів капітулу (з дозволу Святішого Отця Пія VII). 29 жовтня був урочисто введений до Львівської архікатедри.

Щоб краще ознайомитись із ситуацією в парафіях, новопризначений митрополит відразу розпочав їх візитацію, яку проводив сам протягом усього часу свого урядування. Опікувався освітніми закладами, особливо Львівською Духовною семінарією. Загалом, йому довелось впорядковувати та реформовувати церковне життя, яке зазнало збурень у часи наполеонівських війн. 3 лютого 1817 року отримав цісарське призначення примасом Галичини і Володимирії. Хоча ця номінація не була підтверджена Святішим Отцем, проте давала цілий ряд преференцій у порівнянні із архієпископами греко-католицькими та вірменськими. Цього ж року був обраний першим ректором Львівського університету, який до цього функціонував як ліцей.

Після майже двадцятирічного урядування у Львівській архідієцезії 31 травня 1833 року номінований цісарським урядом Празьким митрополитом, що і було підтверджено Святішим Отцем Григорієм XVI 30 серпня. 21 січня наступного року покинув Львів, а у Празі, куди прибув 4 лютого, був урочисто введений до архікатедри 16 лютого. Виконував також обов'язки примаса Чехії, титулярного легата кількох дієцезій та канцлера Празького університету. Помер у Празі 26 березня 1838 року та був похоронений у крипті Празької архікатедри. 1855 року коштом архієпископа Лукаша Баранецького у Львівській катедрі постала пам'ятна таблиця, присвячена архієпископу Андрію Анквічу.